Cours stochastique pdf

Remarque 3. Proposition 3. Exercice 1. En particulier, il est complet pour la norme [. Lemme 3. Rt vii hI. Elle est de plus de crochet hI.

Preuve : voir Protter [28] th. Le lemme R 3. N, le lemme 3. Alors X. Alors : X. Ainsi X. M Preuve en exercice 3, feuille 4. Voir Protter th. Dans tout ce paragraphe, M est une martingale locale continue.

M Tn est une martingale ce qui veut dire ex- actement que X. En revanche : Proposition 3. Protter, th. Alors, f A. Alors, P p. Corollaire 3. Sous certaines conditions, E.

Lemme 4. Supposons donc M, X, E X. Par le corollaire 3. On tire par ailleurs du lemme 4. Proposition 4. B est une vraie martingale. Preuve : E X. B est une surmartingale. Comme E[E0 X. B soit une martingale. On note H02 leur ensemble. Alors, Z t H. P Preuve : on note I le membre de droite. M i donc I.

Preuve : par la proposition 4. Puis on localise la martingale M. En utilisant la proposition 4. Mais toujours la proposition 4. On suppose ici les processus de prix continus. Corollaire 5. En effet, le M. Alors P -p. Corollaire 1. Notons que ce processus est toujours strictement positif. En vertu du corollaire 1. B qui la rende possible. Exercice 1. Attardons nous un instant sur ce dernier point. B Proposition 1. Ceci se montre en deux temps.

Preuve de la proposition 1. Bibliographie [1] P. Billingsley : Convergence of probability measures, Wiley, Bouleau : Processus stochastiques et applications, Hermann, Briane, G. Page [5] D. Dacunha-Castelle, M. Balibar, O. Garsia, E. Rodemich, H. Rumsey,Jr : A real variable lemma and the continuity of paths of some gaussian processes, Indiana Univ. Lamberton, B. Paley, N. Wiener : Fourier transforms in the complex domain, Amer. Revuz, M. Wiener : Differential space, J. Remarque 2. FtBi ] FtBj ] et pour la seconde que E[.

Exercice 2. Proposition 2. M 2 [0, T ] est complet proposition 0. En effet, dans le cadre de la proposition 1. Corollaire 2. Si X est de la forme 2. Ce type de processus porte alors le nom de martingale exponen- tielle. Le processus Xt est donc une modification de St. La solution de 2. Bouleau, D. Karatzas, S.

G Rogers, D. Williams : Diffusions, Marvov processes and Martin- gales, Vol 1. Proposition 3. Lemme 3. Exercice 3. On a de plus exemple 1. Par un argument classique de classe monotone voir? T Ru RT! Bibliographie [1] I.

Remarque 4. A F0 mesurable est une constante. Proposition 4. Exercice 4. La valeur en T de ce produit i. Etape 5 : Enfin et surtout Black, M. Harrison, S. Pliska : Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading, Stochastic Processes and their applications, 11, , Hull : Options, Futures and other derivatives, Prentice Hall, Nous avons vu prop 2. Remarque 5. On sait lemme 1. Nous verrons cependant un peu plus loin les limites de ce choix.

P exercice 2.